جبر
کوتاه شده تاریخ جبر و نمادهای حرفی
جبر بعنوان دانش حل معادله ها پدید آمد .
در مصر و بابل کهن و همچنین در دوران های جدیدتر در هند ، با مقدمه های جبر "آشنا بودند و با توجه به داده های مسأله ، می توانستند معادله را تشکیل دهند و برخی از گونه های آن را حل کنند .
البته آنها از حرف برای نشان دادن داده ها و مجهول ها آگاهی نداشتند و نمی توانستند معادله ها را به صورت کلی خود تنظیم کنند .
در دوران ریاضیات کاربردی ، عنصرهای جبری ، همچون ادامه دانش حساب تلقی می شد .
با وجود این ، به ویژه بابلی ها تا مرز بالایی از جبر جلو رفته بودند و می توانستند مساله های عملی را که منجر به گونه هایی از معادله درجه دوم و در بعضی حالت ها ، حتی درجه سوم شود ، حل کنند .
به واژه « جبر » برای نخستین بار در سده نهم میلادی و در کارهای محمد فرزند موسا مشهور به خوارزمی مجوسی ، برخورد می کنیم .
خوارزمی کتاب « حساب جبر و مقابله » ر ابه تشکیل و حل معادله ها اختصاص داده است .
او از شش نوع معادله صحبت می کند که یکی از آن ها ، معادله درجه اول و پنج گونه دیگر درجه دوم است
( در واقع معادله درجه اول را هم حالت خاصی از معادله درجه دوم ، وقتی که ضریب درجه دوم برابر صفر باشد ، می گیرد ) .
« حساب جبر و مقابله » همه چیز ر ابا واژه ها بیان می کند و هیچ گونه نماد حرفی ندارد .
اصطلاح های « جبر » به معنای « جبران کردن » ، و « مقابله » ( مقابل هم قرار دادن ) ، معرف دو عمل ساده جبری است ؛ به نحوی که همه جمله های سمت چپ و راست معادله ، مثبت یا با ضریب مثبت باشند .
واژه « جبر » به همان معنایی آمده است که در این مصراع سعدی : « که جبر خاطر مسکین بلا بگرداند » و از نظر عمل های جبری ، به معنای انتقال جله منفی به طرف دیگر معادله است تا مثبت شود .
اصطلاح « مقابله » هم به معنای مقابل قرار دادن جله ها در دو طرف برابر ی و حذف مقدارهای برابر از دو طرف است .
به این ترتیب « جبر و مقابله » به معنای ساده کردن معادله و ساده کردن جمله های متشابه است .
نمادهای امروزی به تدریج و در طول زمان به وجود آمد .
« محمد کرجی » ریاضیدان ایرانی اول سده یازدهم میلادی ، برای نشان دادن مجهول نمادی را انتخاب کرد .
معادله ها نزد ایرانی ها تا جایی رسید که « خیام » معادله های درجه سوم ر ابه یاری برش های مخروطی حل می کند .
باید توجه داشت که ایرانیان به پیروی از یونانی ها ، از هندسه برای حل مساله های جبری کمک می گرفتند .
خوارزمی مسله های خود را گاهی با شیوه جبری و گاهی با کمک هندسه حل می کند .
ولی خیام برای حل معادله های درجه سهم ، تنها ار هندسه و برش مخروطی استفاده
می کند تا سرانجام جمشید کاشانی راه حلی جبری برای معادله درجه سوم می یابد که جواب ر اتا هر درجه دقت به دست می دهد .
ریاضیدانان ایرانی ، به معادله های بالاتر از درجه سوم اعتقادی نداشتند ؛ زیرا فضا را سه بعدی و a3 را حجم مکعبی به ضلع a می دانستند و چون در فضا بیش از سه بعد نداریم ، برای a4 و a5 و غیر آن معنایی قائل نبودند .
نمادهای جبری برای اولین بار در اروپای سده های پانزده و شانزدهم برای مجهول و سپس برای عمل ها پدید آمد .
خوارزمی برای مجهول از واژه « شیء » استفاده می کرد ؛ همین واژه بعدها در اروپا به « x » تبدیل شد و برای نشان دادن مجهول به کار رفت .
نخستین کسی که از حرف های الفبای لاتین برای نامیدن مجهول استفاده کرد فرانسوا ویت بود .
او برای مجهول ، حرف N ر ابه کار مب برد .
سپس بیش از همه ریاضیدان آلمانی « لایب نیتس » ( 1646 – 1716 ) و ریاضیدان و فیزیکدان انگلیسی « نیوتون » و ریاضیدان فرانسوی « دکارت » ( 1596 – 1650 ) ، در شکل گیری نمادها نقش داشتند .
در سده پانزدهم « رکورد » ریاضیدان انگلیسی ، نماد برابری را به صورت دو پاره خط راست موازی ( = ) انتخاب کرد .
در این باره ، خود رکورد می نویسد : « هیچ چیز مثل دو پاره خط راست موازی ، نمی تواند مفهوم برابری را برساند .
»
تاریخ عددهای منفی
مفهوم عددهای منفی به تقریب در سده اول پیش از میلاد ، به وسیله هندی ها پدید آمد ( آنها عدد منفی را ، یعنی عددی کهکمتر از صفر بود ، « وام یا قرض » می نامیدند و مقدار مثبت را « دارایی » ) .
برخی ریاضیدانان ایرانی هم از این اصطلاح برای بیان عدد استفاده می کردند .
ولی به طور کلی ، ریاضیدانان ایرانی تنها به جواب مثبت معادله توجه داشتند .
ریاضیدانان اروپایی سد های شانزدهم و هفدهم ، اغلب به جواب منفی معادله ها بی توجه بودند ، به آنها اهمیت نمی دادند و آنها را جواب های « دروغ » و « بی معنا »
می دانستند ( از جمله ، فرانسوا ویت ریاضیدان فرانسوی ) .
عددهای منفی تنها وقتی مورد قبول عام قرار گرفتند که سرچشمه واقعی آنها پیداشد .
ولی دانشمندان یکباره به این سرچشمه پی نبردند .
برای رسیدن به این مرحله ، دشواری ها و موانع بسیاری وجود داشت .
یکی از روش های تفسیر مقدارهای مثبت و منفی را ، هندی ها یافتند که بسیار هم طبیعی بود .
آنها سرچشمه مقدارهای مثبت و منفی را در دارایی و قرض یافتند .
آنها با آغاز از اینجا ، بدون این که این مطلب را از نظر علمی تجزیه و تحلیل کرده باشند ، عمل روی عددهای منفی را آغاز کردند .
برای نمونه « براهما گوپتا » ( 598 –660 میلادی ) یکی از بزرگترین ریاضیدانان و اختر شناسان ، در کتاب اخترشناسی اختصاص دارد ) و در سال 628 میلادی نوشته شده است می گوید :
« مجموع دو دارایی ، یک دارایی و مجموع دو قرض ، قرض است .
مجموع دارایی و قرض ، تفاضل آنها و اگر برابر باشند صفر است .
مجمووع صفر و دارایی ، دارایی ، و مجموع صفر و قرض ، قرض است .
مجموع دو صفر ، برابر صفر است .
»
سپس می گوید :
« وقتی کوچکتر ر ااز بزرگتر کم کنیم ، از دارایی ، دارایی به دست می آید و از قرض ، قرض ؛ ولی اگر بزرگ را از کوچک کم کنیم ، از دارایی به قرض و از قرض به دارایی می رسیم .
وقتی دارایی را از صفر کم کنیم ، قرض و وقتی قرض ر ااز صفر کم کنیم ، دارایی به دست می آید .
»
یکی دیگر از ریاضیدانان و اختر شناسان هندی به نام بهاسکارا – آکاریا ( در 1114 میلادی زاده شد ؛ ولی تاریخ مرگ اومعلوم نیست ) ، بیشتر توجه خود را روی عددهای منفی گذاشت .
پسوند « آکاریا » که به دنبال نام او آمده است ، معنای « دانشمند » و « اندیشمند » را می دهد .
او به تقریب در سل 1150 میلادی ، کتابی به نام « تاج دستگاهها » نوشت .
پیشگفتار این کتاب می نویسد :
« حاصلضرب دو دارایی یا دو قرض برابر است با دارایی .
نتیجه ضرب دارایی در قرض ، عبارت است از زیان .
در تقسیم هم همین نتیجه به دست می آید .
مربع دارایی یا قرض برابر دارایی است .
دارایی دارای ریشه دوم است ؛ یکی دارایی است و دیگری قرض .
»
ریاضیدانان ایتالیایی سده شانزدهم ( پاچیلو ، تارتاگلیا .
فه رو ) ، گرچه از قانون علامت ها در عمی استفاده می کردند ؛ ولی علامت منفی را تنها به عنوان نماد تفریق در نظر می گرفتند ؛ نه به صورت عددهای منفی .
در بین اروپایی ها ، نخستین کسی که ریشه های مثبت معادله رادر کنار ریشه های منفی آن به حساب آورد ، « کاردان » ( 1501 – 1576 ) ریاضیدان ایتالیایی بود .
او ریشه های منفی را « ساختگی و بدلی » نامید .
او با این نامگذاری ، می خواست بگوید که ریشه های منفی ، قابل توجیخ نیستند .
ریاضیدانان آلمانی هم ، همزمان با همکاران ایتالییی خود در سده شانزدهم ، استفاده از عددهای منفی را آغاز کردند .
برای نمونه « شتیفل » در کتاب « حساب
آلمانی » خود ، با پیروی از « قانون علامت ها » در عمل های جبری ، به فراوانی از عددهای منفی استفاده می کند .
شتیفل به این مناسبت می نویسد :
« ...
عمل های جبری روی این عددها ، در واقع منجر به نتیجه ای شگفت می شود ....
ما ناچاریم از عددهای کمتر از صفر یا کمتر از « هیچ » استفاده کنیم .
»
در کنار هواداران عددهای منفی ، مخالفان هم وجود داشتند .
از جمله مخالفان
( همان طور که پیش از این هم گفتیم ) فرانسوا ویت بود که نه عددهای منفی را به رسمیت شناخت و نه در نوشه های خود به کار برد .
توجیه امروزی عددهای منفی ، به عنوان پاره خط های جهت دار ، در سده هفدهم داده شد که بیش از همه در نوشتارهای دو ریاضیدان دیده می شود ؛ « ژیرار » ریاضیدان هلندی ( 1595 – 1634 ) و دکارت ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی .
امروز از عددهای منفی در رسم منحنی ها استفاده می شود .
در ضمن ، عددهای مثبت و عددهای منفی به وسیله یک نقطه از محور ، از یکدیگر جدا می شوند .
اتحادها
پس از آشنایی با عمل های جبری روی چند جمله ای هایی که ضریب های درستی داشته باشند ، می توان به تاریخچه اتحادها رپداخت ، که برای ساده کردن ضرب چند جمله ای ها ، اهمیت بسیاری دارد .
استفاده از اتحادها ر اباید دردوران کهن جستجو کرد .
یونانی ها ، هر گونه مفهوم ریاضی ر اتا جایی که ممکن بود ، به هندسه تبدیل کردند .
توجه بیشتر آنها به این دلیل بود که گمان می کردند ، هندسه دانشی مجرد است و هیچ گونه کاربرد عملی در زندگی ندارد .
برای نمونه ، فیثاغورس ، که در سده ششم پیش از میلاد زندگی می کرد یا هواداران او ، یک رشته اتحاد را روی طول ضلع های مثلث قائم الزاویه مطرح کردند .
ولی اقلیدس ، که در سده سوم یش از میلاد می زیست ، بیشتر اتحادهای جبری را ، البته به صورت هندسی ، منظم کرده است .
او در « مقدمات » خود که شامل سیزده کتاب است ، کتاب دوم را به اتحادهای جبری ، البته با استدلال هندسی آنها ، اختصاص داده است .
اقلیدس به کمک شکل های هندسی ، ده اتحاد جبری را بررسی می کند که اتحاد :
(a + b )2 = a2 + 2 ab + b2
چهارمین آنهاست .
چهارمین آنهاست .
اقلیدس این اتحاد را به صورت قضیه ای تنظیم کرده است که در این جا آن را با اندک تغییری می آوریم : اگر پاره خط راست دلخواهی در نظر بگیریم که دو پاره خط راست تقسیم شده باشد ، مساحت مربعی که روی تمام پاره خط راست رسم شود ، برابر است با مجموع مساحت های دو مربع کع روی بخش های پاره خط راست اصلی رسم شوند ، به اضافه دو برابر مساحت مستطیلی که روی بخش های اصلی پاره خط راست به وجود می آید .
روشن است که استدلال هندسی اقلیدس و دیگر ریاضیدانان یونانی ، نمی تواند امروز برای عددهای منفی به کار رود .
« دیوفانت اسکندرانی » که در سده سوم پیش از میلاد می زیست ، در کتاب « حساب » خود ، اتحاد جبری : ( a + b ) 2 = a 2+ 2ab + b2 ( a – b ) 2 = a2 – 2ab + b2 A2 – b 2 = ( a + b ) ( a – b ) را از دیدگاه حساب بررسی می کند و آنها ر اقانون های اصلی حساب می داند .
خوارزمی ، ریاضیدان ایرانی هم ، در کتاب حساب خود ، از تعبیر