دانلود تحقیق عدد طلائی

 جذر
می دانیم هر عددی که در خودش ضرب شود، می گوییم مجذور شده است یا به توان 2 رسیده است.

مثال: 9=3×3 ، 25=5×5 ، 49=7×7
حال اگر عکس این مسیر را برویم یعنی جذر گرفته ایم که نماد آن " √ " است و رادیکال نام دارد.

مثال:3=9√ ،5=25√ ، 7=49√
حال جذر عددی مثل : 20√ را که مجذور یک عدد صحیح مشخصی نیست ، اینگونه بدست می آوریم:
20 را مساحت مربعی فرض می کنیم که طول ضلع آن برای ما مجهول است و a نام دارد .

حال در این مربع، مربع دیگری در نظر می گیریم که مساحت آن نزدیک ترین عدد مجذور قبل از 20 باشد.

مثلا: 16 که طول ضلع این مربع 4 می باشد .

دو ضلع این مربع را در داخل مربع بزرگ ادامه می دهیم تا ضلع های مربع بزرگ را قطع کند.

اینک دو مسطتیل کوچک بدست می آید و مربع کوچکی در کنار که آن را هاشور می زنیم و به حساب نمی آوریم.

حال دو مسطتیل داریم که مجموع مساحت آن ها و مساحت مربع وسط برابر با 20 خواهد شد؛ یعنی :
a=x+4
4x+4x+16=20
8x=4 a
X=4/8 x
X=0.5
a=4.5
√20=4.5
روش دیگر پیدا کردن 20√ ، این است که دو عدد مجذور یکی کوچکتر و دیگری بزرگتر از 20 را در نظر بگیریم ، مثل: 25 و 16
5=25√ و 4=16√ پس 20√ باید این دو باشد؛ یعنی 5/4
 دنباله
اگر به هر عدد طبیعی یک مقدار نسبت دهیم و این مقادیر را به صورت پی درپی در کنار هم بنوسیم، به یک دنباله می رسیم.

مثال : { ...، 49 ، 36 ، 25 ، 16 ، 9 ، 4 ، 1 }
در دنباله مذکور نسبتی که به هر جمله داده شده توان 2 است؛ یعنی 1 را به توان 2 رساندیم و 1 شده و 2 به توان 2 ، 4 شده است و ...

.

 نسبت
نسبت یعنی تقسیم عدد a بر b (a/b ) به شرطی که b=0 نباشد؛ چون در ریاضی ما اعداد را بر 0 تقسیم نمی کنیم.

 حد
حد یک عبارت یعنی اینکه جوابی که برای آن عبارت بدست می آوریم کاملا عدد مشخصی نیست بلکه جواب تقریبی است و به یک عدد نزدیک است .

مثال : 1/6



مقدمه
نسبت طلایی در ریاضیات و هنر هنگامی است که «نسبت بخش کوچک‌تر به بخش بزرگتر، برابر با نسبت بخش بزرگتر به کل» باشد.تعریف دیگر نسبت طلایی این است که «عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید».

تعریف هندسی آن چنین است: طول مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طولش باشد.

بسیاری از مراجع علمی، حرف یونانی φ را برای این عدد انتخاب کرده‌اند.

مقدار عددی عدد طلایی برابر به طور تقریبی برابر است با:

تعبیر هندسی دیگر اینگونه‌است: پاره خط AB و نقطهٔ M روی آن مفروضند به گونه‌ای که نسبت a به b برابر است با نسبت a+b به a.

این نسبت برابر φ است.

یعنی:


عدد طلائی
تعریف :
پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد.

به شکل توجه کنید.

اگر این معادله ساده یعنی را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا 1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

عدد طلائی عددیست ، که خواص جالب بسیاری دارد ، و بعلت تکرار زیاد آن در هندسه ، توسط ریاضیدانان کهن مطالعه شده است .

اشکال تعریف شده با نسبت طلائی ، از نظر زیبائی شناسی در فرهنگهای غربی دلپذیر شناخته شده، چون بازتابنده خاصیتی بین تقارن و عدم تقارن است.

دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید.

در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام "نسبت طلایی" یا Golden Ratio.

این نسبت هنوز هم بارها در هنر و طراحی استفاده می شود .

نسبت طلائی به نامهای برش طلائی ، عدد طلائی ، نسبت الهی نیز شناخته می شود و معمولاَ با حرف یونانی ، مشخص می شود.

تاریخچه پیشینه توجه به عدد طلایی نه به زمان فیبوناچی بلکه به زمانهای بسیار دورتر می‌رسد.اقلیدس در جلد ششم از سیزده جلد کتاب مشهور خود که در آنها هندسه اقلیدسی را بنا نهاد، این نسبت را مطرح کرده‌است.

لوکا پاچیولی در سال ۱۵۰۹ میلادی کتابی با عنوان نسبت الهی (The Divine Proportion) تالیف کرد.

وی در آن نقاشی‌هایی از لئوناردو داوینچی آورده‌است که پنج جسم افلاطونی را نمایش می‌دهند و در آنها نیز به این نسبت اشاره شده‌است.

مصریان، سالها قبل از میلاد از این نسبت آگاه بوده‌اند و آن را در ساخت اهرام مصر رعایت کرده‌اند.

بسیاری از الگوهای طبیعی در بدن انسان این نسبت را دارا هستند.

نسبت طول ضلع پنج پر منتظم به طول ضلع پنج ضلعی منتظم برابر همین عدد است.

روانشناسان هم بر این باورند زیباترین مستطیل به دید انسان، مستطیلی است که نسبت طول به عرض آن برابر عدد طلایی باشد.

دنباله فیبوناتچی زندگی نامه فیبوناتچی فیبوناتچی در شهر پیزا در ایتالیا متولد شد.

در طول زندگی او ساختن برج خمیده پیزا شروع شد.

او یکی از با استعدادترین ریاضیدانان قرون وسطی است که در آ ستانه قرن 13 وارد عرصه علم شد.

یکی از مشهور ترین آثار او به " حساب و جبر مقدماتی " اختصاص دارد.

آثار او شامل مجموعه وسیعی از مسایل است که به عنوان گنجینه ای تا قرن ها در خدمت مولفین بعدی بود.

راجع به هندسه و مثلثات در هندسه تحلیلی نیز مطالبی ارائه داده است.

مساله فیبوناتچی فیبوناتچی در سال 1202 کتابی در مورد حساب و جبر نوشت و مساله زیر را مطرح نمود: یک زوج خرگوش، یک ماه جوان تر از این هستند که خرگوش دیگری به وجود بیاورند.

اما فرض کنید از ماه دوم هر ماه، یک زوج خرگوش متولد شوند.

اگر هر زوج جدید از خرگوش ها دباره پس از یک ماه تولید مثل را آغاز کنند و هیج یک از خرگوش ها نمیرند، در آغاز هر ماه چند زوج خرگوش وجود خواهد داشت .

دنباله فیبوناتچی این دنباله تشکیل شده از یک سری اعداد که هر عدد برابر است با مجموع دو عدد قبلی.

این دنباله با دو عدد 1 شروع می شود :{ ...

، 233 ، 144 ، 89 ، 55 ، 34 ، 21 ، 13 ، 8 ، 5 ، 3 ، 2 ، 1 ، 1 } این دنباله در درخت اجداد زنبور نر نیز ظاهر می شود.

هر زنبور نر فقط مادر دارد و پدر ندارد، اما زنبور ماده هم پدر و هم مادر .

به چند طریق می‌توانید از یک پلکان که دارای n پله است بالا بروید، اگر در هر گام فقط بتوانید یک یا دو پله را طی کنید؟

برای حل مسئله، ابتدا یک حالت ساده را در نظر می‌گیریم.

فرض کنید که پلکان چهار پله دارد.

شما می‌توانید با چهار گام کوچک ( یک پله ای ) مسیر را طی کنید یا اینکه دو گام بزرگ ( دو پله ای ) بردارید، یا یک گام بلند و دو گام کوچک.

کلیه حالتهای ممکن در شکل زیر نمایش داده شده است.

پله هایی که با علامت مشخص شده اند، آنهایی هستند که روی آن قدم گذاشته اید.

در واقع این مسئله را با یک استراتژی بسیار ساده می‌توان حل کرد.

کافی است مسئله را کمی خرد کنیم.

آخرین گام یا یک گام کوچک است و یا یک گام بزرگ.

تعداد راههایی که می‌توان پلکان را طوری طی کرد که به پله ماقبل آخر رسید، حل مسئله برای یک پله کمتر ( n-1 پله ) است و تعداد راههایی که می‌توان از آن به دو پله پایین تر رسید، حل مسئله برای دو پله کمتر ( n-2 پله ) خواهد بود.

در مثال بالا سه مسیر مختلف وجود دارد که به پله سوم می‌رسد و دو مسیر هست که به پله دوم منتهی می‌شود.

حالا باید مسئله را برای این دو حالت کوچک تر حل کنیم.

ما دوباره هر یک از این دو حالت را به حالات کوچک تر مشابه تقسیم می‌کنیم.

این روش را " حل بازگشتی " می‌نامند.

در واقع ما هر بار مسئله را به مسئله ای شبیه خودش - اما کوچک تر از آن - تبدیل می‌کنیم.

تعداد کل مسیرها برابر مجموع مسیرهایی که به پله ماقبل آخر رسیده و آنها که به دو پله قبل از پله آخر منتهی شده اند، می‌باشد.

می‌توانید بگویید چرا؟

اگر همین طور مسئله را به مسئله های کوچک تر تقسیم کنیم، در آخر به جایی می‌رسیم که حل آن برای ما بسیار ساده است: به چند طریق می‌توان دو پله را طی کرد؟

و پس از حل آن، دوباره مسیری را که برای حل مسئله طی کرده ایم، باز می‌گردیم.

ینن مسئله را می‌توان با دنباله اعداد فیبوناچی نیز حل کرد.

دنباله فیبوناچی یک دنباله بازگشتی است که در آن اعداد اول و دوم مساوی یک می‌باشد.

هر عدد این دنباله از جمع کردن دو عدد قبلی به دست می‌آید.

چند عدد ابتدایی این دنباله عبارتند از: ...

و 13 و 8 و 5 و 3 و 2 و 1 و 1، چون: ...

و 8+5=13 و 8=3+5 و 5=2+3 و 3=1+2 و 2=1+1 اگر عدد n ام این دنباله را با fn نشان دهیم، آن گاه می‌توان دنباله را با فرمول بازگشتی زیر مشخص کرد: fn=fn-1+fn-2 , f1=1 , f2=1 اگر دقت کنید متوجه می‌شوید که f1 دقیقا برابر تعداد راههای ممکن برای بالا رفتن از یک پله، f2 برابر راههای ممکن برای دو پله و به همین ترتیب fn تعداد مسیرهای ممکن برای رسیدن به بالای یک پلکان n تایی است.

آیا می‌توانید توضیح دهید که چرا تساوی بالا برقرار شد؟

مسایل بسیاری را می‌توان با استفاده از مدل اعداد فیبوناچی حل نمود.

این دنباله در سال 1202 میلادی توسط یک ایتالیایی به نام " لئوناردو فیبوناچی " (Leonardo Fibonacci) ابداع شد.

در واقع او در جستجوی راه حل یک مسئله بود.

مسئله به این صورت است که : " اگر هر جفت خرگوش در هر ماه یک جفت خرگوش جدید به دنیا بیاورند و خرگوش های جدید هم پس از گذشت یک ماه، به دوران باروری برسند ( با فرض اینکه هیچ خرگوشی نمیرد ) تعداد خرگوشها را در ماه n ام پیدا کنید.

" بعدها، یوهان کپلر (Johannes Kepler) خاصیت جالب دیگری از این دنباله را کشف کرد.

او نسبت دو جمله متوالی این دنباله را محاسبه نمود و متوجه شد که این نسبت به عدد نزدیک می‌شود.

این نسبت، عددی شناخته شده بود که " عدد طلایی " نامیده می‌شد.

در مورد عدد طلایی و خواص آن تحقیق کنید .

اعداد فیبوناچی را در بسیاری از موارد طبیعی نیز می‌توانید مشاهده کنید.

آرایش برگ‌ها و گلهای بسیاری از گیاهان به صورت دو پیچه (spiral) است.

معمولا تعداد پیچه های ساعتگرد با تعداد پیچه های پادساعتگرد تفاوت دارد.

اغلب اوقات این دو، دو عدد متوالی از رشته فیبوناچی هستند.

به شکل زیر توجه کنید: این الگو را می‌توان در گلبرگ‌ها یا دانه های بسیاری از گیاهان مثلاً آناناس، گل داوودی، گل کلم، میوه های کاج و ...

مشاهده کرد.

شاید دلیل آن این باشد که وقتی دانه‌ها ( یا گلبرگ‌ها ) به این صورت قرار گیرند، بدون توجه به اندازه شان به طور یکنواخت و فشرده در کنار هم جا می‌گیرند؛ یعنی با اینکه عده ای از دانه‌ها کوچک تر از بقیه هستند، در هیچ ناحیه ای تراکم تغییر نمی کند و فضای خالی دیده نمی شود.

با استفاده از applet زیر می‌توانید پیچه های متعدد رسم کنید.

حتما این کار را امتحان کنید و ببینید آیا در شکلهای ایجاد شده، هیچ الگوی آشنایی می‌بینید؟

این دنباله خواص جالب دیگری نیز دارد، مثلاً: با توجه به سه فرمول آخر، آیا می‌توانید فرمولی برای محاسبه ارائه کنید؟

می‌توانید فرمول خود را اثبات کنید؟

اگر دوست داشتید تا درباره اعداد فیبوناچی بیشتر بدانید، می‌توانید به سایتهای زیر مراجعه کنید: نسبت طلایی بین اعداد در دنباله فیبوناتچی تعبیر هندسی نسبت طلایی 800 سال پس از بو جود آمدن دنباله فیبوناتچی، سازمان و مجله ای به نام " فیبو ناتچی کوارترلی " خود را وقف پی بردن به کشفیات جدید در رابطه با این دنباله نمود.