- جبرگزاره ها:
تعریف گزاره:
گذاره جمله ایست خبری که درستی ونادرستی آن ممکن است برمامعلوم نباشد.
مثال 1: پنج عددفرد است .
مثال 2:عدد11231 اول است.
مثال 3:سحردانشجوی عمرا ن است.
- نمایش گزاره ها:
گزاره ها راباحروف لاتین (p,r,s,f,…)نمایش میدهند.
نکته:
نیزعلامت نقیض یاناارز است.
- ارزش یک گزاره وناگزاره:
p
t
f
مثال: اگر n=1 21=2
مثال:اگر n=2 22=4
Q P
T T
F T
T F
F F
(معادل یا هم ارز)
- رابطه گزاره ها: (نماد) (معنی)
1)واو عطف ^ و
2)یای فاصل یا
3)شرطی اگر.........انگاه
4)دوشرطی اگروفقط اکر
اگر(( if and only اگر((2شرطی است i.f.f
-گزاره های مرکب:
1)ترکیب عطفی: q^p (گزاره یاخبر)
2) فصلی : q7p : تالی:q
3)شرطی : p q نکته: مقدم:p
-ارزش گزاره های مرکب:
1-ترکیب عطفی:
زمانی درست است که هردوگذار درست باشند.
((دربقیه حالات نادرست است))
2)ترکیب فصلی : زمانی درست است که حداقل یکی ازگزاره هادرست باشد.
3)ترکیب شرطی:
زمانی نادرست است که مقم درست وتالی آن نادرست باشد
((در بقیه ی موارد درست میباشد))
4)دوشرطی
ترکیب دوشرطی زمانی درست است که دوگزاره متحدالارزش باشد.
((هردو درست یاهردونادرست باشند)) دربقیه مواردنادرست است.
-جدول ارزش درستی گذاره ها:
دوشرطی شرطی فصلی عطفی
P q
P q
q7p p Q p
T T T T T t
F F T F F T
F T T F T F
T T F F F F
مثال: 1
ارزش گزاره های زیر رامعلوم کنید:
-( q8 p)
نکته :ترکیب عطفی زمانی درست است که هردودرست باشند.
q 8 p
q
q p
F F t t
t T F t
F F t F
F T F F
مثال:2(p 7q ) فصلی
q7 p
p
q p
t F t t
F F F t
t T t F
t T F F
مثال:3(p q )
تالی مقدم
p q
p
Q p
t F T t
t F F t
t t T F
F t F F
مثال :(4p q )
p q
q
p
q p
t F F t t
F t F F t
F F T t F
t t T F F
ارزش گزاره های زیررا معلوم کنید:
-سوال گزاره ها:
1)اگر P^ q ) )و r درست باشندارزش گزاره های زیرراباذکردلیل معلوم کنید؟
الف) r P
ب) q p
P=t
Q=f Q=t P^q=t
نکته:ترکیب عطفی زمانی درست میباشدکه هردوگزاره درست باشند.
r= t r=f
الف)t f (نادرست)
ب)f t (درست)
-گزاره نما:
عباراتی هستندکه د رآن متغییریامتغییرهایی به کاررفته باشند که به آن گزاره نما گویند
مثال:
1p(x):3x+4=7:
p(x):4x+7y=11:2
نکته:درگزاره نما د امنه متغییرومجموعه جواب مشخص باشد.
1: گزاره گزاره نما =د امنه
2: گزاره گزاره نما =مجموعه جواب
مثالها:
1:درگزاره نمای 3x+9=-3 = p(x)دامنه متغییرومجموعه جواب رابیابید؟
-4 X=-12/3= =-3-9 3x 3x+9+3=0
مجموعه جواب= 4
2: درگزاره نمای p(x)= x+3 =5 د امنه متغییرومجموعه جواب رابیابید؟
2 - x
X=13/4 0 5x-10=x+3 5x-x-10-3= 0 4x-13= x-2=0 x=2 R-{2}
مجموعه جواب
3) ( 3 = 8-4x p(X) (د امنه متغییرومجموعه جواب رابیابید؟
8-4>0 8-4x>0 -4x>-8 x>-8/4 x>2 x<2>
دامنه:R=(-&,2)
8-4=9 8-4X-9=0 -4X-1=0 X=-1/4
مجموعه جواب= -
2n
N EN,F(X)= g(X)
انگاه {g(x)>0 DF={X
-سورها:
سورچیست: علائمی هستند که به جلوی گذاره نما اورده میشود تاازانهاب درستی
یانادرستی نتیجه بگیریم.
انواع سورها: (نماد) (معنی)
1:سورعمومی (همه .هر)
2:سور وجودی (برخی/بعضی/حداقل یک مقدار)
3:دروحدت یایگانه !
(فقط یک مقدار)
4:سورصفر (هیچ)
ارزش سورها:
1: سور عمومی:زمانی درست است که دامنه یامتغییربامجموعه جواب=باشد.
2:سوروجودی:زمانی درست است که مجموعه جواب آن باشد.
3:سورحصر:زمانی درست است که مجموعه جواب آن فقط1عضوداشته باشد.
4:سورصفر:زمانی درست است که مجموعه جواب آن باشد.
4:سورصفر:زمانی درست است که مجموعه جواب آنباشد.
مثالها: 1:ارزش گزاره های سوری زیرراتعیین کنید؟
الف) 0 RX2 x ( + R=(- = دامنه متغییر R-{0} = مجموعه جواب پس ارزش گزاره فوق نادرست ب) 3X=1+8 مجموعه جواب= {} پس ارزش گزاره های وجودی فوق درست است -جبرمجموعه: مجموعه: دسته ای ازاشیاءکاملامشخص ودوبه دومتمایزاست.
منظورازمشخص:این است که یک مجموعه ریاضی صرف نظرازهرعقیده یاسلیقه پیش همگان یکسان است یعنی اختلاف سلیقه ای وجود ندارد.
منظوراز دوبه دومتمایز: انست که تکرارعضودریک مجموع ای باتاثیراست.
مجموعه تهی: به مجموعه ای گویندکه دارای هیچ عضوی نیست وآن رابه صورتیا{}نشان میدهند.
مثال: { X X R,X2-X+1=0 } عضوهای این مجموعه ریشه های حقیقی معادلهX2-X+1=0میباشدوچون است پس معادله چواب حقیقی نداردومجموعه فوق عضوی نداردوبرابر تست: 1:کدامیک ازعبارات زیریک مجموعه ریاضی است؟
11_مجموعه انسانهای ساعی 22_مجموعه شاعران 33_مجموعه گلهای زیبا 44_مجموعه اعدادطبیعی کمترازیک (درست) نکته:نمایش مجموعه هابااستفاده ازعلائم ریاضی: X}, B={X 3 مثالها: مثال1:شهرهای جالب یک مجموعه نمیباشدزیرااعضای انهامشخص نیستتند.
مثال2:اعد اد بزرگ یک جمعه نیست چون نمیتوان اظهارنمودکه عدد2000عضو مجموعه هست یا خیر.
مثال3:اعدادگویا مجموعه ای مشخص است وهمینطورمجموعه حروف الفبای فارسی نکته: مجموعه هامعمولا باحروف بزرگ انگلیسی نشان داده میشوندوبرای بیان عضویت یک شی ریک مجموعه ازعلامتاستفاده میشود((((X E Aیعنی Xعضوی ازمجموعه A است و(( (( Xیعنی xعضوAنیست.
-نمایش مجموعه ها: برای نمایش مجموعه هامعمولااز3روش استفاده میکنیم.
1)بااستفاده ازعلامت{} 2)مجموعه اعدادطبیعی= N={1,2,3,4….} 3)مجموعه اعداداحتسابی= W={0,1,2,3,….} 4)مجموعه اعدادصحیح= Z={…..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..} 5)مجموعه اعدادگویایامنطق= 0} b a,b, Q={ 6)مجوعه اعداداعصم یاگنگ -نمایش مجموعه هابااستفاده ازاشگال هندسی: که نمایش هندسی مجموعه{1و2و3}یا{a,b,c,d }میباشند نکته: مجموعه اراباحروفهای بزرگ نشان میدهند.
نمادعضویت وعدم عضویت: (عضویت ) (عدم عضویت) مثال: X XEZ-2 A={X A={-2,-1,0,1,2} OEA(T) ER(T) 3 EA(F) -2EA(T) -1EA - زیرمجموع های یک مجموعه: اگرتمام عضوهای مجموع Aمتعلق به مجموعه BباشدAرازیرمجموعهBگویندوتعریف ریاضی آن به شرح زیراست.
B (ACB) ( XEA XEB) مثال: اگرACB B{1,2,3,4},a={2,4} -خواص زیرمجموعه ها: الف)هرمجموعه ای زیرمجموعه خودش میباشدACA)) ب)مجموعه تهی زیرمجموعه هرمجموعه ای است.
ج)n=تعدادعضوهای مجموعه.
2n تعدادزیرمجموعه هابادرنظرگرفتن مجموعه تهی.
2 n-1تعدادزیرمجموعه های محض (بدون درنظرگرفتن مجموعه تهی) د)تعدادزیرمجموعه های mعضوی ازمجموع ای که عضوداردبرابراست با: n !
n = M m !(n-m!) مثال زیرمجموعه: B ACB:UXEA XEB A={1,2} B={1,3,5,7} ACB B A سوال: 1)تمام زیرمجموعه های مجموعه روبرورابنویسید؟
A={2,{2}} )O 2) {2},{{2}} 3) {2,{2}}{{2},2} 4) 2{2,{2}}1 2)کلیه زیرمجموعه های مجموعه {2و5و7}=Bرابنویسید؟
زیرمجموعه ای تک عضوی:O , {2},{5},{7} زیرمجموعه های دوعضوی:2,5},{2,7},{5,7}} زیرمجموعه های سه عضوی:{2,5,7} -مجموع جداازهم: دومجموع درصورتی جداازهم میباشندکه عضومشترک نداشته باشند.
B,A ( جداازهم باشند B={ 2,4,6} A={1,3,5,7,} -اعمال رروی مجموعه ها: 1)اجتماع : AUB={XIXEAvXEB} 2)اشتراک :A B={XIXEA^EB} 3)تفاضل دراولی هست در دومی نیست: A-B={XIXEA^X {XIXEA^XEB} 4)تقاضل متقارن: B A A-B=AB A A الف)اجتماع: اجتماع ومجموعه ((a,bرابه صورت :AUBنمایش میدهندوبه شرح زیراست: { AUB={XIXEA ,XEB ( AUB ) مثال: A={2,3,5,7} B={3,4,7,8,} AUB={2,3,4,5,7,8} - خواص اجتماع مجموعه ها: AB AUB=Bالف AUA=A ب B AUA=M ج AUO=A د M AUM=M ح مثال2:Mمجموعه مرجع جهانی یامادراست.
مجموعه(M) A A =O AUA=M M={1,2,3,4,5,6} B={1,4} A={2,3,5,6} B={1,5,6} B={2,3,4} C={4,6} C ={1,2,3,5} ب)اشتراک : اشتراک دومجموعه رابه صورتB Aنشان میدهند وبه شرح زیراست: B A AB={XIXEA,XEB} ( A B) مثال: A={2,3,5,7} B{3,4,7,8} A B={3,7} -خواص اشتراک مجموعه ها: الف) ب)A A=A ج)A A=O د)A O=O ه)A M=A ج)تفاضل دومجموعه: تفاضل دومجموعهA,Bرابه صورتA-Bنشان میدهندوبه مجموعه ای گفته میشودکه شامل عضوهایی ازمجموعهAمیباشدکه درمجموعهBنیستند.
تفاضل دومجموعهA,Bبه صورت ر یاضی به شرح زیرتعریف میشوند: A-B={XIX,XEB} (A-B) د)تفاضل متقارن: تفاضل متقارن مجموعه های A,Bرابه صورت : A میدهندوبه شرح زیراست: B A A ( (A تساوی دومجموعه: مثال: A=B ACB^BCA اگرAUB=Oباشدثابت کنیدB=O,A=O میدانیم: ACAUB اولی زیرمجموعه دومی: ACO طبق فرض دومی زیرمجموعه اولی: OCAازسویی ازمقایسه 1و2بنابه تعریف تساوی ومجموعه A=O میدانیم : BCAUB BCO OCB B=O مثال: اگرA ثابت کنیدB=M,A=M Mمجموع مرجع است.
1)ACAUB 2)BCAUB 3)A 4)A میدانیم:A طبق فرض1:MCA A=Mازمقایسه1و2بنابه تعریف طبق فرض2:ACM تساوی دیگر.
زیرمجموعه های محض یاخالص یااکید: A={a.b.c} O {a},{b},{c} {a,b},{a,c},{b,c} {a,b,c} 1 زیرمجموعه های محض سوال: 1)دومجموعه a,bروی هم دارای 10عضواست وتعدادزیرمجموعه های مجموعه aچهاربرابرتعدادزیرمجموعه bاست ومعین کنیدهریک ازمجموعه هاچندعضودارد؟
N(a)=x n(b)=y x+y=10 2x=4*2y =4 2=2 x-y=2 x-y=2 2x=12 x=6 y=4 x+y=10 امتحان مسئله: a:24=16 B=26=64=4*16 2)معین کنیدمجموعهaدارای چندزیرمجموعه است؟ثانیاتعیین کنیدگزاره زیردرست است یانادرست؟باذکردلیل؟
({a}EA)^({a}Ca) A={a,{a},{a,{a}} ({a}EA^({a}CA) درست درست =Tنادرست درست اتحادها: اتحادچیست؟یک حفی یاحروفی است که به ازاءجمیع مقادیرآنحرف یاحروف برقراراست 1)مربع مجموعه یاتفاضل دوجمله: a,bER (a+b)2 =a2+b2+2ab b2-2ab + a2= a-b)2) 2)مکعب مجموعه یا تفاضل دومجموعه: a,bER (a+b)3 =a3+3b+3ab2+b3 (a-b)3 =a3-3b+3ab2-b3 نکته:تعدادجملات حاصل دربسط دوجمله ای n(a+b)برابرn+1خواهدبود.
3)اتحادمزدوج: a,bER (a+b)(a-b)=a2-b2 4)مربع سه جمله: a,b,cER(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 5)اتحاد چاق ولاغر: (a+b)(a2-ab+b3)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b3)=a3-b3 6)اتحادجمله مشترک: X+a)(x+b)=x2+(ab)x+ab) ب) 4+3)=4+3+4 2(2)( +2( (2)2+(=22+)2+ نکته :)چون مثبت داردa>0اگر: ج *329*2+4*3+12=(3 2(3 =18+12+126=30+12 2A=3 3B=2 د)( + +(=(2(1)(+ 2(( +(1)2= 2( 1+)1/1)2=) 1)حاصل هریک ازعبارات زیررابااستفاده ازاتحادهابه دست اورید: - (x4+y5)2=(x4)2+(y5)2+2(x4)(y5)=x8+y10+2y5 Xy+2)(xy-2)=(xy)2-(2)2=y2-4 ) - -(ab+5)(ab+4)=x=ab a=5 b=4 (ab)2+(5+4)(ab)+(4*5)= ab2+9ab+20 (X2+)2=5 x2++2(x)( سوال: tgx+coty x=10باشدمطلوبستtx+cotxرابدست اورید: (Tgx+cotyx)3=103 Tgx+3gx.cotgx+3tgx.cogx+cogx=1000 3x+3tgx.cotx(tgx+cotgx)+cotgx=1000 Tg3+cotx=1000-30=970 اگرداشته باشیم a2+b2=3abمطلوبست2)=tرابیابید: T= حاصل عبارت زیررابه کمک اتحادها بدست اورید: (2+ (4-3)(4+3-4 روشهای تجزیه: 1)روش فاکتورگیری: مثال: 2x5-7x3+14x10=x3(2x2-7+14x7) 8c4+10bc8-14c4=2bc4=(4b2+5ac-7ab ) 2)دسته بندی:برای دسته بندی حد اقل به4جمله نیازاست: Ax+ay+bx+by= (ax+ay)+(bx+by)= a(x+y)+b(x+y)= (xy)(a+b) 3)استفاده ازاتحادها: الف)اگرعبارات سه جمله ای باشدممکن است یکی ازاتحادهای زیرین باشد: 1: (a+b)2=a2+b2+2ab 2: (a-b)2=a2+b2-2ab مثالها: 1:x4+y2+y4=(x2+y2)2 2: x2-2x+1=(x-1)2 ب:اگرعبارت دوجمله ای باشدممکن است یکی ازاتحادهای زیرین باشد: 1: (a+b)(a2-ab+b2)a3+b3 2: (a+b)(a2+ab+b2)=a3-b3 مثالها: 1:هریک ازعبارتهای یرراتجزیه کنید: 27x3+y3=3(x)3+(y)3=(3x+y)(9x2-3xy+y2) 1- -2 b3-8= (abc)3-(2)3=(abc-2)(c2+2abc+4) نکته: ازمنفی هانمیتوانیم جذربگیریم.