دانلود مقاله مختصات قطبی

مختصات قطبی

تعریف
مبداء O و یک نیم خط مانند OL را درنظر می‌گیریم و آن را محور قطبی و نقطه O را مبداء یا قطب می‌نامیم.

این صفحه را، صفحه قطبی می‌نامیم.

به فرض P نقطه‌ای در صفحه قطبی باشد.

فاصله جهت‌دار O از P را با r نشان می‌دهیم که r یک عدد حقیقی است، r را شعاع قطبی می‌نامیم و O زاویه جهت‌دار از OL تا OP می‌باشد که اگر نیم‌خط OL نسبت به OP در جهت خلاف عقربه‌های ساعت دوران کند، آن را جهت مثبت (جهت مثلثاتی) و در خلاف آن جهت منفی نامیده می‌شود.

در این صورت نظیر نقطه P زوج مرتب (r, G) وجود دارد که آن را مختصات قطبی نقطه P می‌نامند و می‌نویسند P(r, G).

واضح است که زوج‌های (r, 2nπθ), (r, G) یک نقطه را در صفحه قطبی مشخص می‌کنند.

واضح است که یک نقطه در مختصات قطبی بی‌نهایت نمایش دارد و زاویه متناظر با یک نقطه مفروض یکتا نیست.

P(r, G) = (r, 2nπθ)

نکته: برای مشخص کردن نقطه متناظر با زوج (r, G)، ابتدا زاویه θ را مشخص می‌کنیم و از O نیم‌خطی رسم می‌کنیم.

اگر r>0، آنگاه در امتداد این نیم‌خط از O به اندازه‌ جدا می‌کنیم، ولی اگر r<0، آنگاه="" در="" امتداد="" این="" نیم="" خط="" از="" o="" به="" اندازه="" |r|="" جدا="" می‌کنیم.="">

مثال: نقاط را مشخص کنید.

نکته: نقاط بر هم منطبقند.

تمرین: نقاط زبر را در صفحه قطبی مشخص کنید.

مثال: نقاط را درنظر بگیرید.

جای نقطه را در صفحه مشخص کنید و سپس همه مخصتات قطبی این نقاط را مشخص کنید.

Shekl------------------

رابطه بین مختصات قطبی و دکارتی
به فرض (r, θ) مختصات نقطه P در صفحه قطبی و (x,y) مختصات P در صفحه دکارتی باشد.

با توجه به شکل داریم:


مثال: مختصات دکارتی نقطه را مشخص کنید.

مثال: مختصات قطبی نقطه را بیابید.

حل.

نقطه P در ناحیه دوم قرار دارد.

بنابراین:



نکته:‌ روش دیگر برای مشخص کردن مختصات قطبی :

الف) اگر x>0 آنگاه
ب) اگر x<0 آنگاه="">
مثال: مختصات قطبی را مشخص کنید.

مثال: مختصات قطبی نقطه M(-1,1) را مشخص کنید.

مثال: مختصات قطبی نقطه M(1,-1) را بیابید.

تمرین: مختصات قائم نقاط را مشخص کنید.

تمرین: تمام نمایش‌های نقطه‌های زیر را در مختصات قطبی نشان دهید.

تمرین: معادلات زیر را به صورت قطبی بنویسید.

r=0 روی r=sinθ قرار دارد.

بنابراین معادله قطبی برابر است با: چون r=0 همان قطب است که روی نمودار r2=cos2θ قرار دارد، بنابراین معادله قطبی به صورت r2=cos2θ است.

تمرین: معادلات قطبی را به صورت دکارتی بنوبسید.

نمودار معادلات قطبی منظور از نمودار معادله قطبی یا مجموعه مختصات قطبی یعنی مجموعه تمام نقاط با حداقل یک جفت مختصات که در معادله صدق می‌کند.

رسم نمودار در مختصات قطبی اگر یا معادله قطبی یک منحنی باشد، برای رسم آن چنین عمل می‌کنیم.

بررسی تقارن‌های منحنی بررسی اینکه منحنی از قطب می‌گذرد یا نه؟

(r=0) اگر منحنی از قطب می‌گذرد معادلات خطوط‌های بر منحنی در قطب را مشخص می‌کنیم.

تعیین نقاطی که دارای ماکزیمم یا مینیمم نسبی است.

مثال: نمودار معادلات زیر را رسم کنید.

پ نکته: نمودارهای معادلات قطبی زیر را رسم کنید.

به کمک تقارن می‌توانیم نمودار معادلات قطبی را به آسانی رسم نمود.

تمرین نمودار منحنی‌های زیر را رسم کنید.

1.

حل.

لذا منحنی نسبت به قطب تقارن دارد.

پس محور x، محور تقارن منحنی است.

در نتیجه حول نسبت به قطب و محور x تقارن دارد.

پس نسبت به محور yها تقارن دارد.

بنابراین نمودار را در فاصله رسم می‌کنیم و قرینه آن را نسبت به محور xها و yها بدست می‌آوریم.

معادله خط مماس در قطب بیشترین مقدار آن زمانی است که ، یعنی .

پس و تمرین مقدار آن وقتی یعنی .

2.

پس محور yها محور تقارن است.

لذا منحنی را در فاصله رسم کرده و قرینه آن را نسبت به محور yها بدست می‌آوریم.

منحنی از قطب نمی‌گذرد.

بیشترین مقدار r ----- است که و کمترین آن وقتی است که 3.

معادله تغییر نمی‌کند.

بنابراین محور yها، محور تقارن است.

لذا منحنی را در فاصله رسم می‌کنیم و قرینه آنرا نسبت به محور yها پیدا می‌کنیم.

4.

با تبدیل‌های زیر معادله تغییر نمی‌کند و محور xها محور تقارن است.

بالطبع نسبت به محور yها نیز تقارن دارد.

پس نمودار در فاصله رسم می‌کنیم.

5.

بنابراین محور قطبی محور تقارن است.

نمودار را در فاصله رسم می‌کنیم.

اگر ، داریم .

با درنظر گرفتن داریم: .

نقطه است.

نکته: نمودار معادله به صورت لیماسون (Limacon) یا حلزونی می‌باشد.

در معادله اگر به تبدیل شود، معادله تغییر نمی‌کند.

پس نمودار نسبت به محور قطبی متقارن است.

در زیر شکل این معادله را در دو حالت رسم می‌کنیم.

حالت الف) حالت ب) در معادله با تبدیل به معادله تغییر نمی‌کند.

بنابراین نمودار نسبت به محور yها (خط ) متقارن است و شکل آن به یکی از صورت‌های زیر است: حالت الف) حالت ب) 6.

پس محور قطبی محور تقارن منحنی است.

جوا ندارد.

پس نمودار از قطب عبور نمی‌کند.

چون نمودار نسبت به محور قطبی تقارن دارد، نمودار را در فاصله رسم می‌کنیم.

7.

نمودار نسبت به محور قطبی تقارن دارد.

پس نمودار را در فاصله رسم می‌کنیم.

پس نمودار از قطب می‌گذرد و در قطب به خط مماس است.

8.

چون معادله تغییر نمی‌کند، پس محور عرض‌ها محور تقارن است.

لذا نمودار را در فاصله رسم می‌کنیم.

سپس قرینه آن را نسبت به محور رسم می‌کنیم.

نمودار در قطب بر خطوط مماس است.

9.

10.

بنابراین نمودار نسبت به محور قطبی متقارن است.

همچنین با تبدیل معادله تغییر نمی‌کند.

محور نیز محور تقارن است.

در نتیجه منحنی نسبت به قطب متقارن است.

کافی است نمودار را در فاصله رسم می‌کنیم.

11.

چون معادله تغییر نمی‌کند، پس محور قطبی، محور تقارن است.

بنابراین نمودار را در فاصله رسم می‌کنیم.

پس محور xها محور تقارن است.

بیشترین مقدار آن وقتی است که .

بنابراین و کمترین وقتی است که ، یعنی .

پس محور yها محور تقارن است و نمودار را در فاصله رسم می‌کنیم.

12.

بنابراین محور yها محور تقارن است .

نکته: نمودار گل رز نامیده می‌شود.

اگر n فرد باشد، گل دارای n پر است و اگر n زوج باشد، دارای 2n پر است.

13.

14.

بنابراین قطب مرکز تقارن است.

توسط خواص تقارن‌ها نمودار را کامل می‌کنیم.

در نتیجه محور xها محور تقارن است.

15.

16.

با تبدیل داریم: لذا قطب مرکز تقارن نیست.

بنابراین محور yها محور تقارن است.

محور xها محور تقارن نیست.

θ030456090120135150180210225240270300315330360r011.41.721.71.410-1-1.4-1.7-2-1.7-1.4-10 θ030456090120135150180210225240270300315330360r03.443.40-3.4-4-3.403.443.40-3.4-4-3.40 θ030456090120135150180210225240270300315330360r20-1.4-2021.40-201.420-2-1.402 θ030456090120135150180210225240270300315330360r00.30.61233.43.743.73.43210.60.30 θ030456090120135150180210225240270300315330360r43.73.43210.60.300.30.31233.43.74 θ030456090120135150180210225240270300315330360r210.60.300.30.61233.43.743.73.432 θ030456090120135150180210225240270300315330360r233.43.743.73.43210.60.300.30.612 θr θr θr θr θr θr θr θr θr θr θr