حلقه و ایده آل :
تعریف : حلقه مجموعه ای است مانند R همراه با دو عمل دوتایی که معمولا با جمع و ضرب نشان می دهند به طوری که :
1 .
( R , + ) گروه آبلی است .
2 .
به ازای هر R α , b , c (α b ) c = α ( b c ) .
( شرکت پذیر )
3 .
.
(α + b ) c = α c + b c , α ( b + c ) = α b + α c ( پخشی )
هرگاه علاوه بر این :
4 .
اگر به ازای هر R α , b α b = b α گوییم حلقه تعویض پذیر است .
5 .
هرگاه R شامل عنصری مانند 1 R باشد بطوری که : به ازای هر R α 1R .
α = α .
1R = α آنگاه گوییم R یک حلقه تعویض پذیر یک دار است .
نکته : عنصر همانی جمعی حلقه عنصر صفر نام دارد و با 0 نمایش داده می شود .
تعریف : فرض کنید S , R حلقه و R → S : f یک نگاشت باشد در این صورت f را همومورفیسم ( یا همومورفیسم حلقه ای ) گوییم اگر و فقط اگر شرط های زیر برقرار باشند:
1 .
به ازای هر R α .
b f (α + b ) = f (α ) + f ( b ) ؛
2 .
به ازای هر R α , b f (α b ) = f (α ) f ( b ) ؛
3 .
f ( 1 R ) = 1 s
نکته : اگر f : A → B , g : B → C همومورفیسم حلقه ای باشند آنگاه ترکیبشان نیز همومورفیسم حلقه ای است .
تعریف : فرض کنید R یک حلقه تعویض پذیر باشد زیر مجموعه I از R را یک ایده آل می نامیم اگر شرط های زیر برقرار باشند :
1 .
I زیر گروه جمعی R باشد .
R r ، I i نتیجه بدهد R ir ؛
تعریف : فرض کنید R یک حلقه تعویض پذیر باشد .
مقسوم علیه صفر R عضوی مانند R r است که به ازای آن عضوی مانند R y با شرط 0R ≠ r y .
تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر باشد .
در این صورت R را یک دامنه صحیح می گوییم اگر
1 .
R حلقه صفر نباشد یعنی 0R ≠ 1R و
2 .
0R تنها مقسوم علیه صفر R باشد .
یا به عبارت دیگر اگر R α , b α b = 0 R آنگاه α = 0 R یا b = 0s .
لم 2- 1- 1 : اگر R دامنه صحیح باشد تنها مقسوم علیه صفر حلقه همان عضو صفر حلقه
است .
برهان : فرض کنید R α مقسوم علیه صفر R باشد آنگاه R b وجود دارد بطوری که α b = 0 و 0 ≠ b .
چون R دامنه صحیح است لذا α = 0 یا b = 0 .
ولی 0 ≠ b لذا باید α =0 .
بنابراین تنها مقسوم علیه صفر α = 0 عضو صفر آن است .
تعریف : یک حلقه یکدار با خاصیت 0 R ≠ 1 R را که هر عنصر تا صفر آن یکه باشد حلقه بخشی نامیم .
عضور وارون پذیر ( یکه ) R عضوی چون R r است که به ازای آن عضوی مانند R u وجود داشته باشد بطوری که ru=1R .
می گوییم R میدان است اگر :
1 .
R حلقه صفر نباشد یعنی 0R ≠ 1 R
2 .
هر عضو ناصفر R وارون پذیر باشد
یا به عبارت دیگر هر حلقه بخشی تعویض پذیر را میدان گوییم .
نکته : هر میدان دامنه صحیح است ولی عکس این مطلب در صورت متناهی بودن حلقه برقرار است .
( قضیه 1- 6- 3 و 1- 6- 4 از مرجع [ 3 ] ) .
تعریف : فرض کنید S , R حلقه های تعویض پذیر بوده و f : R → S یک
همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت هسته f را که با ker f نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می کنیم :
لم 2- 1- 2 : فرض کنید S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت k e r f = { 0 R } اگر و فقط اگر f یک به یک باشد .
برهان : فرض کنید R r , و به فرض ( ) f = ( r ) f .
در این صورت
0 = ( ) f - ( r ) f = ( - r ) f لذا { 0 } = ker f - r .
بنابراین = r .
یعنی f یک به یک است .
برعکس فرض کنید f یک به یک باشد و بفرض x عضو دلخواهی از ker f باشد در این صورت 0 s = ( x ) f .
از طرفی چون 0 s = ( 0s ) f .
بنابراین f ( x ) = 0 s از طرفی چون f ( 0 R ) = 0 s .
بنابراین f ( x ) = f ( 0 R) و چون f یک به یک است لذا
x = 0R .
گزاره 2- 1- 1 : f ker ایده آلی از R است .
برهان : فرض کنید بنابراین داریم f ( β ) = 0 s و f (α ) = 0 2 .
از طرفی می دانیم f (α + B ) = f (α ) + f ( β ) = 0 s + 0 s = 0 s لذا
Ker f α + β .
از طرفی برای R r اگر f ker κ آنگاه
r ( f ( κ )) = r f ( κ ) = f ( r κ ) = 02 بنابراین f ker rκ .
تعریف : فرض کنیده S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه
همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت هسته f را که با ker f نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می کنیم : لم 2- 1- 2 : فرض کنید S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت k e r f = { 0 R } اگر و فقط اگر f یک به یک باشد .
برهان : فرض کنید R r , و به فرض ( ) f = ( r ) f .
در این صورت 0 = ( ) f - ( r ) f = ( - r ) f لذا { 0 } = ker f - r .
بنابراین f ( x ) = f ( 0 R) و چون f یک به یک است لذا x = 0R .
گزاره 2- 1- 1 : f ker ایده آلی از R است .
برهان : فرض کنید بنابراین داریم f ( β ) = 0 s و f (α ) = 0 2 .
از طرفی می دانیم f (α + B ) = f (α ) + f ( β ) = 0 s + 0 s = 0 s لذا Ker f α + β .
از طرفی برای R r اگر f ker κ آنگاه r ( f ( κ )) = r f ( κ ) = f ( r κ ) = 02 بنابراین f ker rκ .
تعریف : فرض کنیده S , R حلقه های تعویض پذیر و f : R → S همومورفیسم حلقه ای باشد در این صورت تصویر f را که با f I m نشان می دهیم به صورت زیر تعریف می شود : { R x : ( x ) f } = ( R ) f = I m f .
تذکر : به وضوح f پوشاست اگر و فقط اگر S = f I m .
نکته : فرض کنید لذا داریم .
یعنی هر چه i کوچکتر شود اشتراک رو به بالا می رود و .
لذا اگر ø = I آنگاه خودمان تعریف می کنیم که .
و اگر ø = قرار داد می کنیم R = .
تعریف : فرض کنید A , B دو ایده آل از حلقه تعویض پذیر R باشند .
آنگاه حاصل ضرب دو ایده آل A , B را با AB نمایش می دهیم و به صورت زیر تعریف می شود : = AB که یک ایده آل از حلقه R است.
در حالت کلیتر اگر ایده آل هایی روی R باشند آنگاه : تعریف : اگر R یک حلقه باشد و A یک زیر مجموعه ناتهی از R باشد بطوری که A≠R آنگاه R را یک ایده آل حقیقی روی R می گوییم .
تعریف : گروه خارج قسمتی R | I ضرب تعریف شده ای از R به ارث می برد که حلقه ای می سازد که حلقه خارج قسمتی R | I نامیده می شود .
عضو همانی این حلقه 1 + I وعضو صفر آن نیز برابر 0 + I = I است .
{ R r : I + r }=R | I .
تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر و I ایده آلی از آن باشد آنگاه نگاشت R|I → R : f را با ضابطه I + r = ( r ) f به ازای هر R r همومورفیسم پوشای حلقه ای با هسته ی I است .
این همومورفیسم را اغلب همومورفیسم طبیعی گویند .
تعریف : فرض کنید R حلقه تعویض پذیر و R α .
در این صورت مجموعه { Rr : a r } = α R ایده آلی از R است و ایده آل اصلی تولید شده توسط α نامیده می شود و اغلب با (α ) نمایش داده می شود .
( 0 ) ایده آل تولید شده توسط صفر است و R = (1) .
تعریف : دامنه صحیحی که هر ایده آل آن اصلی باشد یک دامنه ایده آل اصلی گفته می شود .
نکته : واضح است که a وارون پذیر است اگر و فقط اگر (α ) = R = (1) گزاره 2- 1- 3 : فرض کنید R یک حلقه مخالف صفر باشد .
آنگاه موارد زیر معادلند: 1 .
R میدان است 2 .
تنها ایده آل ها در R ایده آل های (0) , (1) است 3 .
هر همومورفیسم از R بتوی حلقه غیر صفر S یک به یک است برهان : ( 2 ) → ( 1) فرض کنید I ایده آلی از R باشد و (0) ≠ I .
پس عضو I i ≠ 0 وجود دارد و چون R میدان است بنابراین i وارون پذیر است لذا R = (1 ) = (i) I .
از طرفی R I لذا I = R .
(3) → (2) فرض کنید f : R → S ( ≠ 0 ) همومورفیسم حلقه ای باشد .
آنگاه چون f ker ایده آلی از R است و چون 0 ≠ 1s و 0 ≠ S و 1s = ( 1R ) φ لذا f ker 1s بنابراین R ≠ f ker .
چون تنها ایده آل های R (1) و (0) است بنابراین f = (0) ker لذا f یک به یک است .
(3) → (1) به برهان خلف فرض کنید R میدان نباشد لذا عنصری از R مانند x ≠ 0 یافت می شود که وارون پذیر نیست .
بنابراین (x) ≠ R بنابراین اگر به فرض قرار دهیم : f : R → S ( ≠ 0 ) , S = R | (x) بنابراین ker f = ( x ) وبنابه ker f = (x) = (0) = 0 (3) یعنی x = 0 که تناقض است .
لذا R میدان است .
تعریف : فرض کنید I , J ایده آل های حلقه تعویض پذیر R باشند .
خارج قسمت ( I : J ) بصورت{I r J : R r } = ( I : J ) تعریف می شود .
بوضوح ( I : J ) I .
2- 2- لم زورن : تعریف : فرض کنید V مجموعه ناتهی باشد .
رابطه را ترتیب جزیی روی V می نامیم اگر بازتابی ( یعنی به ازای هر V u u u ) متعدی ( یعنی به ازای V u , v , w